Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно два решения.

Решение.

Посмотрим внимательно на систему. Заметим, что если мы поменяем местами и , то система от этого не изменится. Системы такого рода называются симметрическими, и если пара (x;y) является решением симметрической системы, то пара (y;x) также будет решением этой системы. Следовательно, должно быть только одно значение и соответствующее ему значение , которые являются решением системы. В этом случае система будет иметь ровно два решения: (x;y) и (y;x) (!)

В первом уравнении отсутствует параметр, и из него мы можем получить соотношение между и .

Перенесем влево.

Разделим обе части на в предположении, что . (Если , то , в этом случае для пары (0,0) мы не можем получить симметричную ей, и не можем получить ровно два решения.)

Решим квадратное уравнение относительно и получим

или

Отсюда или

Рассмотрим первый случай: . Подставим во второе уравнение системы. Получим:

Просматривается квадратное уравнение относительно . Нас интересует, при каких значениях это уравнение имеет единственно решение. (см. (!))

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если

Отсюда:

Если , то и соответственно - этот случай нам не подходит.

То есть

Второй случай: абсолютно аналогичен первому.

Ответ: